Samenvatting Exponentiele groei (Mavo 4)

Druk hier! Je vindt hier ook voorbeeldvragen en natuurlijk de antwoorden. 

Exponentiele verbanden: formule, grafiek

1. Algemeen
Een exponentieel verband hoort bij een exponentiële formule.
Deze formules gebruik je voor het rekenen met procenten op procenten en met groeifactoren.

2. Formule
De formules die horen bij een exponentieel verband zijn van de vorm h = b · g^t
De variabele in de formule is altijd de exponent van een groeifactor.
Voorbeelden: y = 50 · 0,73^x en h = 12 · 1,03^t

3. Tabel
Hieronder een voorbeeld van een tabel die bij een exponentieel verband hoort.

Bij een constante toename boven in de tabel, moet je onderin altijd met hetzelfde getal kunnen vermenigvuldigen.
Ook als de factoren bij de pijlen iedere keer net iets anders zijn, maar allemaal rond hetzelfde getal liggen, heb je te maken met een exponentieel verband. De afwijking komt dan door afrondingen in de tabel.

4. Grafiek
De grafiek bij een exponentieel verband is een steeds sneller stijgende (of dalende) grafiek.

5. Formule opstellen
De formule is altijd van de vorm h = b · g^t
Hierin is b de beginhoeveelheid (t = 0) en g de groeifactor.

Factoren bij procenten:

toe- of afname in %	factor
toename 5 %	1,05
toename 8,5 %	1,085
afname 12 %	0,88
afname 3,5 %	0,965

Voorbeeld 1:
Op een spaarrekening staat 1500 euro en je krijgt ieder jaar 3,5 % rente.
De formule waarmee je het bedrag b op de rekening kan berekenen na t jaar is: b = 1500 · 1,035^t

Voorbeeld 2:
Een boom is 8m lang. Ieder jaar groeit deze boom met 6 %.
De formule waarmee je de hoogte h van de boom na t jaar kan berekenen is: h = 8 · 1,06^t

Voorbeeld 3:
Een bepaalde auto kost nieuw 35 000 euro. Ieder jaar wordt deze auto 10 % minder waard.
De formule waarmee je de waarde w van de auto na t jaar kan berekenen is: w = 35 000 · 0,9^t

Voorbeeld 4: Formule maken bij een grafiek.
Laten we de grafiek hierboven nemen. We kunnen aflezen de punten (0, 3) en (7, 8).
Als we 3 nemen als de beginhoeveelheid krijgen we y = 3 · g^x
Nu gaan we y = 7 en x = 8 invullen.
Dan krijgen we een vergelijking die we kunnen oplossen.
8 = 3 · g⁷
g⁷ = 8 ÷ 3
g = (8 ÷ 3)^{(1 ÷ 7)} = 1,15
De formule wordt dus y = 3 · 1,15^x

Hoe vaak kun je een vel papier dubbelvouwen?

Zeven tot acht keer, vaker kan Lerbe de Knorst uit Breda een simpel A4-tje niet dubbelvouwen. Dat geldt tot zijn verbazing ook voor een A3, een A2 en zelfs een A1-vel. De Korst: „Volgens vrienden is dat een soort natuurwet. Maar kun je een superdun vel vloeipapier ter grootte van een speelveld wél vaker vouwen?”
De vraag houdt De Knorst al meer dan 28 jaar bezig. Hoog tijd voor een antwoord dus. „De dikte is het probleem,” zegt wiskundige en informaticus Maarten van Gelder. Hij is fanatiek beoefenaar van de origamikunst. Op zijn website zijn bijna zeventig eigen vouwontwerpen te vinden.
„Het is een eenvoudig sommetje.” Hij rekent even voor: „Neem een normaal vel papier van een tiende millimeter. Dat vouw je kruislings dubbel. Na één vouw is het papier al 0,2 mm dik, na twee keer 0,4 mm en na zeven keer 1,28 centimeter. Dat krijg je niet meer fatsoenlijk dubbel.”Ook in één richting vouwen biedt geen soelaas. „Bovendien”, waarschuwt Van Gelder, „is de buitenste laag korter dan de binnenste laag als je dik vouwt. En het gaat kreukelen.”
Negen keer dubbel, dat lukte papier- en textielkunstenares Zoe Bradley uit Londen. Met een vel papier van één bij één meter dat ietsje zwaarder was dan een normaal A4-tje. Het werd wel erg dik. Papier vouwen is trouwens helemaal trendy, meent de Britse Bradley. „Steeds meer mensen in de mode- en meubelwereld gaan aan de slag met papier.” Op dit moment is in de Amsterdamse galerie Platform 21 een gevouwen jurk van papier van Bradley te zien, op de expositie ‘Folding’.
Maar hoe zit het dan met het dunne vel vloeipapier ter grootte van een speelveld? De Amerikaanse scholier Britney Gallivan bedacht onderstaande wiskundige formule om het aantal vouwen (n) te berekenen, afhankelijk van grootte (W, 1 zijde van een vierkant) en dikte (t) van papier.
Met 0,05 mm dik vloeipapier en een veld van 100 bij 100 meter, kom je uit op 13,8. Dus 13 keer vouwen.

Verbanden herkennen en maken

Hieronder zie je een overzicht van de meest voorkomende verbanden:: 

Verband	Grafiek	Formule	Bijzonderheden
Lineair	Rechte lijn	N=a .t+b	Toename met gelijke stapjes van t, dan ook toename met gelijke stapjes van N. Of ook: eerste verandering is constant. Beter: de gemiddelde toename is constant. (a is de gemiddelde toename, b is de beginwaarde)
Wortel	Voorbeeld	N = a . √b. t + c	Denk aan het domein, een negatieve wortel kan namelijk niet.
Kwadratisch	Parabool	N=a . t2 +b . t+c	Tweede verandering is constant.
Exponentiëel	voorbeeld	N=b . gt	Groeifactor (g) per tijdseenheid is constant, b is de beginwaarde.
Omgekeerd evenredig	Hyperbool (met de x- en y-as als asymptoten)	N=tc jk   of N . t = c	Als t twee keer zo groot wordt, wordt N twee keer zo klein. N×t is constant (c)
Hyperbolisch	hyperbool	N=ct−a+b	Zie omgekeerd evenredig, maar dan verschoven (a naar rechts en bomhoog.

Hoe kun je, gegeven een tabel, weten over welk verband het gaat ?